相境界運動の微分方程式による数理解析

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材料科学における相変態の非平衡状態を記述するために,種々の非線形偏微分方程式が提唱されてきた。中でも2合金のコースニング現象を記述するCaha-Hilliard方程式は有名である。近年、このような偏微分方程式の数学サイドからの研究は,盛んになってきたが,非線形性のために,その解の形状を数学的緻密に説明できることは必ずしも多くない.本研究では,Caha-Hilliard方程式で拡散係数が濃度に依存した場合のある特異極限をとることによって得られた相境界の運動方程式である.表面拡散流方程式についてその解の幾何学的性質を数学解析の立場から解析した。表面拡散流方程式を平面内の閉曲線(自分自身と変わらない)に対して考えると,成装速度が曲率の孤長パラメーターの2階微分に等しいという形になる。(成装速度を外向き曲率は円がプラスになるようにとる)与えられた初期形状に対してこの法則をみたしてうごいていく解なる曲線は初期形状の幾何学用特性をどの程度保存しているかを考えてみた。この結果,曲率流方程式つまり成装速度が曲率にひとしいという法則の場合と大きくことなり,自己非交叉性,凸性のどちらも一般には保たれえないことを発見した.このことは,方程式が4階のため拡散方程式であっても2階でないので,最大値原理,比較原理が成立しないので想像はできるが,問題の非線形のため,ほんとうに実験することは容易ではなかった。例えば.自己非持久性か非保存であることをいうために初期形状を工夫するわけだが自己交叉がおこりうる時刻まで表面拡散流方程式の解があるかどうか自明ではないからである。ここでは表面拡散流方程式を自己交叉のゆるす世界で考え,局前解の存在時間を下から評価し、それまでの時間に自己非交叉性がくずれることを示した。凸性の非保存についても初期の凸の形状をその曲等の4階微分か凸性を(曲率の正値性)をこわすように工夫するのであるが、このことにより,解の存在時間に影響ができるように泡茎している。非線形偏微分方程式の立場から高階拡散方程式の取り扱いとして重要である.