相転移と自由境界問題

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物質は温度、圧力などの環境が異なると液体や固体などの異なる相を呈する。ひとつの相から他の相へかわる過程は、相転移とよばれ、これを解き明かすことは、現代科学の主テーマのひとつである。物質の2相が共存し、混じり合っていないとき、その相境界の動きを調べることは、相転移のしくみを知る上で重要である。現象を微分方程式を用いてマクロに定式化できても、相境界の形状は未知で方程式を解くことによって決定しなければならない。境界の形状があらかじめ決まっていないという意味では自由境界問題と呼ばれている。本研究では、この分野の今後の重点的研究目標を設定するために、この分野で既に大きな寄与のある数学的理論「粘性解」や、また重要な課題である「界面ダイナミクスと特異性形成」とその関連の会議を4回ほど開催した。これらの会議には、数学分野研究者以外の研究者や、外国人研究者にも参加してもらい、各テーマについて深く討論した。1999年11月に千葉で開催された国際研究集会「自由境界問題(FBP'99)」では「界面ダイナミクス」についての分科会を分担者の人が企画し、さまざまな問題を提起した。外国人研究者より代表者の著書「非線形偏微分方程式」の内容についての質問が多かった。そのため英訳の作成を開始した。また解説を中心とした論文を数編とりまとめ学術交換の便をはかった。このような試みを通じて、重要なテーマがうかびあがってきた。代表的なものをふたつあげる。偏微分方程式の初期値境界値問題は数多く研究されているが、その境界条件に未知関数の時間微分がふくまれている場合は、重要であるにもかかわらず研究がすすんでいない。特に方程式の拡散効果が退化している場合の研究はない。また研究代表者の研究分野のひとつである特異性の強い拡散方程式は画像処理の問題との関連もあり、さらに深く調べる必要性を認識した。これらの活動をもとに来年度の特定領域研究(代表者 三村 昌春(広島大))の分担者として自由境界問題の会議を開催することとなった。