III型因子環とその部分因子環の研究

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II_1型因子環に対するJones指数理論に触発され、この場合の部分因子環の構造はOcneanu-Popa等により詳しく調べられた。その後、III型因子環に対する指数理論も代表者、Longo(ローマ大)により導入されIII型因子環の部分因子環の構造解析も活発に行われている。II_1型の時とIII型の時には部分因子環の様子は少し違っており、特にIII_0型の時はエルゴード理論的な複雑さが加わって様子は全く異なってくる。今年度中にPacific J.Math.に掲載される予定の代表者と佐野氏(山形大)の共同研究でこれがますます明らかにされた。実際、II_1型部分因子環の解析の不変量(たとえば各種グラフ)と多対1のエルゴード流をうまく組合わせて各々同型だが部分因子環としてはnon-conjugateな非可算無限個の部分因子環の例をかなり多くのIII_0型因子環に対して構成できることが示された。同雑誌に今年度中に掲載される予定の代表者と宗政氏(九大)、山上氏(東北大)とのもう一つ共同研究では群部分群の対から生じる部分因子環から自然に決まる既約両側加群の詳細な分解法則(fusion rule)が決定された。一般に部分因子環から自然に4種類の両側加群が得られ、これらを調べる事は部分因子環研究の為に重要である。数年前、代表者と山上氏は群部分群の場合の4種の両側加群のMackey流の表現の誘導制限による完全記述を得た。これら両側加群の積の分解法則(fusion rule)は更に細かい部分因子環の情報を含む。4種のうち3種類についてはfusion ruleは既約表現のテンソル積に対するClebsch-Gordan法則に対応する。残った一番難しい両側加群についてのfusion ruleの決定がこの論文で行われた。