作用素のH^∞関数計算の研究

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Banach空間Xに作用する一つの閉線形作用素Aについて、Aのスペクトル集合σ(A)の近傍で有界かつ正則なすべての関数fに対して、自然な方法により、fのAでの値f(A)がXの有界作用素として定義されるとき、この対応f→f(A)をAのH^∞関数計算という。Banach空間XがL^p(1<p<∞)空間で、Aのスペクトル集合σ(A)がある角領域Sに含まれている場合について次のような成果が得られた。AについてのH^∞関数計算が存在することと、Aに対する2乗積分の形をしたgー関数g(ψ)=S_Γ1A^<1/2>(λ-A)^<-1>|^2ψ|^2dλ、ΓはSの外を走る積分路、ψ〓L^p、に対して、評価式||g(ψ)||L^p【less than or equal】C||ψ||L^pが成立することとは同値であることが示された。これは、Hilbert空間の場合の同様な結果の、L^p空間への拡張である。次に、AがH^∞関数計算を持てば、Aの純虚数巾A^<2^^〜y>(-∞<y<∞)はXの有界作用素であることが分かる。Hilbert空間では、この逆、すなわちA^<2^^〜y>が有界作用素になれば、AはH^∞関数計算をもつことが示された。しかし、このことは、L^p空間ではもはや成立しないことが明らかになった。また、AがH^∞関数計算をもてば、Aの分数巾A^θ(0<θ<1)と、Aの定義域D(A)とXの補間空間に関して、D(A^θ)=[X,D(A)]_<1-θ>がすべての0<θ<1について成立することが示された。Hilbert空間ではこの逆も成立したが、L^p空間の場合では、成立するかどうか分からなかった。偏微分方程式への応用に関しては、係数が十分滑らかな楕円型微分作用素から定まる線形作用素は、L^p空間で、H^∞何数計算をもつことが分かった。イタリアの数学者達により、H^∞関数計算をもつような解析的半群の生成作用素Aについて、発展方程式du/dt+Au=ψ(t)はL^p(O,T;X)でMaximal Regularityをもつことが報告された。