力学系に現れるフラクタルの位相的研究

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一次元複素力学系であらわれるフラクタルであるジュリア集合、マンデルブロ-ト集合には密接な関係があることが知られていた。すなわち、力学系の相空間内の不変集合であるジュリア集合の性質しパラメーター空間内の分岐集合であるマンデルブロ-ト集合の中に既に「局所的に」含まれている。ところが、今回の研究により、もっと大ざっぱな見方(組合せ的見地)をすれば、大域的な相似関係にあることがわかった。マンデルブロ-ト集合の性質を知るには、ジュリア集合を調べればよい、と標語的に言われている(一般的にジュリア集合の方が調べやすい)ことが、さらに裏付けられたことになる。また、これは実一次元力学系のkneading sequencesの単調性の拡張にもなっており、分岐の過程で、周期点のタイプがどのように出現してくるかということを示すものでもある。そのような観点から、解析的という条件を除いた力学系についても考察した。つまり、球面上の二次のトポロジカルな分岐被覆写像による力学系である。この場合、相空間とパラメーター空間の間の関係などが解析的の場合のようになることは期待できないと思われるが、kneadingtheoryに相当するものはある程度構成することができるであろう。現在、まだ研究は完成していない段階だが次のようなことがわかっている。平面上の二次分岐被覆で、postcritically finiteな二次の多項式写像と分岐点の振る舞いが同値なものを考える。このとき、「必ず」存在する周期点の組みがあることがわかるが、それは二次多項式写像の力学系で(つまりはジュリア集合で)特徴づけられる。この事実は、複素力学系の中のある性質は、条件を緩くしたトポロジカルな力学系において既に現れていることを示している。もう少しある種の「拡大性」をつけ加えた力学系では、さらに複素力学系に近いものが現れることもわかる。