Rechtfertigung der Nichtlinearen Schrödinger-Gleichung beim Wasserwellenproblem

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Die Nichtlineare Schrödingergleichung (NLS) beschreibt die Evolution der Einhüllenden eines räumlich und zeitlich oszillierenden Wellenpaketes. Wegen dieses universellen Charakters taucht sie zum Beispiel als Modell für Wasserwellen oder als Modell für die Datenübermittlung in der nichtlinearen Optik auf. Im Rahmen dieses Projektes sollen folgende drei Ziele erreicht werden. 1) Der Nachweis exakter Abschätzungen zwischen den durch die NLS erhaltenen Näherungen und Lösungen des Wasserwellenproblems. Dieses Problem ist seit Zakharov 1968 offen. 2) Der Existenzbeweis sogenannter modulierender Pulse beim Wasserwellenproblem: Existieren die den Solitonlösungen der Nichtlinearen Schrödingergleichung entsprechenden Lösungen beim Wasserwellenproblem für alle Zeiten oder werden sie durch interne Resonanzen zerstört? 3) Die Entwicklung neuer Methoden zum Nachweis exakter Abschätzungen zwischen den durch die NLS erhaltenen Näherungen und Lösungen des Originalsystems, wenn globale Nichtresonanzbedingungen nicht erfüllt sind. In diesem Fall ist bislang unklar, ob die NLS das Originalsystem richtig beschreibt, obwohl sie formal richtig hergeleitet werden kann. Dies soll zunächst anhand von Modellproblemen untersucht werden.