ミラー対称性と多変数超幾何微分方程式系のモノドロミー

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数学者Kontsevichは、"ホモロシー論的ミラー対称性"を提唱し、カラヒ・ヤウ多様体X.X^Vがミラー対称であるとき、X上の連接層が作る導来圏とX^V上のラグラジアン部分多様体とその上の平坦直線束から定義する、深谷のA_<(x)>圏の導来圏が同値になることを予想し、その考え方は広く受け入れられている。本研究では、ホモロジー論的ミラー対称性に関係して次の成果を得た:(1)カラヒ・ヤウ多様体は同型でないが、導来圏が同型になってしまう場合のミラー対称性について考察した。特にK3曲面の場合に、ミラー多様体の周期写像のモノドロミー性質力:導来圏の自己圏同値として表わされない例を見つけた。また、この現象は多様体は同型でないが、導来圏が同型になってしまう場合に典型的に起こる現象であることを議論した。(2)グロセフ・ヴィッテン不変量とよばれる位相不変量について、ホモロジー論的ミラー対称性に基づいた数学的定式化を与えた。これは、物理学者によって提唱されているBPS状態の数え上げ問題の数学的正当化である。以上2点に関する成果に加えて、2001年7月に、"Workshop on Arithmetic, Geometry and Physics around calab-Yau Vanettes and Mirror Symmetry"(於:トロント、カナダ)に、オーガナイザーの1人として参加し、超幾回級数に関する講演を行った。