流体力学における非線形偏微分方程式の時間大域的解析

本研究では、半空間上でのナビエ・ストークス方程式を考察し、解のエネルギー時間減衰についての下からの評価を確立することに成功した。ナビエ・ストークス方程式は、粒子の移流を表す特徴的な非線形項を持つ方程式であり、この非線形項が引き起こす現象を解明することは、一つの重要な研究テーマである。本研究では特に、流体の力学的エネルギーの減衰や、流体の運動を支配する周波数の挙動の観点から、非線形現象の解明を目標に研究を行っている。この目的のため、まず非線形ナビエ・ストークス流における線形ストークス流の影響を詳細に解析した。線形のストークス方程式の解析は、全空間の場合には、熱核を用いた表現公式とフーリエ変換を用いた手法により解析され、特に初期値の低周波成分の分布がエネルギー減蓑を特徴づけていることが知られている。一方、境界を持つ領域においては、非圧縮条件と境界条件の影響で、線形ストークス流の解析はこんなものとなる。しかし、半空間の場合には、鵜飼によりストークス流の解公式が得られており、与えられた初期値に対して、具体的に解析することができる。本研究では特に、線形ストークス方程式のエネルギー時間減衰の下からの評価を生じさせる、初期値の条件を発見し、具体的な減衰評価を得ることに成功した。一般に、半空間のストークス流は、鵜飼の解公式からもわかるように、複雑な構造をしているが、本研究では半空間における鉛直成分の情報と水平成分の情報を分離することにより、エネルギー減衰の下からの評価を確立した。これは半空間ストークス流における、低次元全空間のストークス流の構造を見出したということができ、意義深い。

本研究では、半空間上でのナビエ・ストークス方程式を考察し、解のエネルギー時間減衰についての下からの評価を確立することに成功した。ナビエ・ストークス方程式は、粒子の移流を表す特徴的な非線形項を持つ方程式であり、この非線形項が引き起こす現象を解明することは、一つの重要な研究テーマである。本研究では特に、流体の力学的エネルギーの減衰や、流体の運動を支配する周波数の挙動の観点から、非線形現象の解明を目標に研究を行っている。この目的のため、まず非線形ナビエ・ストークス流における線形ストークス流の影響を詳細に解析した。線形のストークス方程式の解析は、全空間の場合には、熱核を用いた表現公式とフーリエ変換を用いた手法により解析され、特に初期値の低周波成分の分布がエネルギー減蓑を特徴づけていることが知られている。一方、境界を持つ領域においては、非圧縮条件と境界条件の影響で、線形ストークス流の解析はこんなものとなる。しかし、半空間の場合には、鵜飼によりストークス流の解公式が得られており、与えられた初期値に対して、具体的に解析することができる。本研究では特に、線形ストークス方程式のエネルギー時間減衰の下からの評価を生じさせる、初期値の条件を発見し、具体的な減衰評価を得ることに成功した。一般に、半空間のストークス流は、鵜飼の解公式からもわかるように、複雑な構造をしているが、本研究では半空間における鉛直成分の情報と水平成分の情報を分離することにより、エネルギー減衰の下からの評価を確立した。これは半空間ストークス流における、低次元全空間のストークス流の構造を見出したということができ、意義深い。