Ｍｏｒｓｅ理論の様々な応用に関する研究

本研究の最終年度は昨年度に引き続き、閉シンプレクティック多様体上のハミルトン力学系における非可縮な周期軌道の存在、特にGurel予想について研究した。Gurel予想はConley予想の変種であり、「閉シンプレクティック多様体上の任意のハミルトニアンは、非可縮周期軌道を少なくとも1つ持てば、無限に多くの非可縮周期軌道を持つ」ということを主張している。Gurel予想はまずGurel自身によって多様体がsymplectically atoroidalな場合に示され、その後GinzburgとGurelによってtoroidally monotoneな場合にまで拡張されている。昨年度私は、両者に当てはまらない多様体である2n次元トーラスについてGurel予想が正しいことを示した。そこで本年度は、以上の先行研究の拡張を行った。すなわち、基本群がvirtually abelian群かR群である場合に、symplectically asphericalな多様体についてGurel予想が正しいことを示した。さらに、同様の条件を満たす基本群を持つmonotoneな多様体に対しても成り立つことを示した。ここでR群とは、方程式の根が存在すれば一意であるような群である。以上の性質を満たすシンプレクティック多様体としてはトーラスの他に、小平・サーストン多様体や、それらと複素射影空間の直積などが挙げられる。証明にはフレアー・ノビコフ理論を用いた。フレアー・ノビコフホモロジーでは、その生成元として周期軌道のノビコフ作用を考慮する必要がある。しかし、基本群が上述のようにアーベル群に「近い」性質を持てば、有理ホモトピー論を援用することで、ハミルトニアンのイテレーションによる生成元の変容を記述することが出来た。

本研究の最終年度は昨年度に引き続き、閉シンプレクティック多様体上のハミルトン力学系における非可縮な周期軌道の存在、特にGurel予想について研究した。Gurel予想はConley予想の変種であり、「閉シンプレクティック多様体上の任意のハミルトニアンは、非可縮周期軌道を少なくとも1つ持てば、無限に多くの非可縮周期軌道を持つ」ということを主張している。Gurel予想はまずGurel自身によって多様体がsymplectically atoroidalな場合に示され、その後GinzburgとGurelによってtoroidally monotoneな場合にまで拡張されている。昨年度私は、両者に当てはまらない多様体である2n次元トーラスについてGurel予想が正しいことを示した。そこで本年度は、以上の先行研究の拡張を行った。すなわち、基本群がvirtually abelian群かR群である場合に、symplectically asphericalな多様体についてGurel予想が正しいことを示した。さらに、同様の条件を満たす基本群を持つmonotoneな多様体に対しても成り立つことを示した。ここでR群とは、方程式の根が存在すれば一意であるような群である。以上の性質を満たすシンプレクティック多様体としてはトーラスの他に、小平・サーストン多様体や、それらと複素射影空間の直積などが挙げられる。証明にはフレアー・ノビコフ理論を用いた。フレアー・ノビコフホモロジーでは、その生成元として周期軌道のノビコフ作用を考慮する必要がある。しかし、基本群が上述のようにアーベル群に「近い」性質を持てば、有理ホモトピー論を援用することで、ハミルトニアンのイテレーションによる生成元の変容を記述することが出来た。