Studies on spreading fronts in reaction-diffusion systems and related free boundary problems

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【前半】 Ding氏と俣野は，29年度から共同で研究を進めていた，時間周期的な係数をもつ R 上の半線形拡散方程式の定性的性質に関する論文を完成させた．論文の具体的内容は，コンパクトな台をもつ初期値から出発した非負解のダイナミクスの完全な分類である．この研究により，係数が時間変数に依存しない自励系の場合と類似した結果が時間周期系に対しても成り立つことがわかったが，時間周期解の構造は定常解の構造よりはるかに複雑であるので，証明は格段に困難であった．しかし，交点数非増大則と無限次元力学系の理論を巧妙に組み合わせた議論を何層にも展開して，この困難を克服することができた．（Journal de Mahematiques Pure et Appliques に投稿済み．）【後半】Ding氏と俣野は，上と同じ時間周期的な係数をもつ R 上の半線形拡散方程式を考察し，別の角度から，解の漸近挙動を論じた．詳しく述べると，上記の研究では解の漸近挙動を通常のω極限集合の概念を用いて論じたのに対し，この研究では，ω極限集合の概念を広げた「拡張ω極限集合」なるものを用いて論じている点が異なる．両者の違いは，ω極限集合が，空間領域の固定した位置から解の長時間経過後の挙動を観察するのに対し，Ω極限集合では，空間内を自由に移動する観測者から見える挙動の全体を考える点にある．多重安定な非線形項をもつ方程式の場合，速度が異なる複数の波面が一つの解の中に併存することがあるが，Ω極限集合を用いると，それらすべてを把握することが可能となる．この研究により，空間周期的な非線形項をもつ方程式に対して，係数が時間に依存しない方程式に対して知られている「進行テラス解」の理論と同様の結果が成り立つことを示すことができた．なお，この研究においても，交点数非増大則が中心的な役割を演じた．（論文は完成しており，投稿準備中．）