量子不変量の性質と漸近的挙動

量子不变量的性质和渐近行为

• 批准号: 08740062
• 负责人: 高田 敏恵
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740062/
• 关键词: 3次元多様体; 量子不変量

この研究は,三次元多様体の量子不変量の性質と漸近的挙動を調べることを目標としていた.本研究では,予想していた量子不変量の代数的な重要な性質を証明する事に成功した.以下が具体的成果である.物理学者Wittenによって提唱された,三次元多様体の量子不変量のうち,A_N型リー環に対応するSU(n)不変量に関しては,三次元多様体の絡み目表示を用いた,Turaev-wenzl,Kohno-Takata,Yokota等による,数学的定式化が知られている.Kohnoとの共同研究でSU(n)不変量から,より精密なPSU(n)不変量をとりだした.これらの不変量は,レベルと呼ばれる正の整数とある1の巾根tによってきまり,その値はtの平方根の有理関数として表わされる.以前の研究で,レンズ空間とザイフェルトホモロジー球面のPSU(n)不変量に対する明確な値を与えた.それは,不変量がtの多項式環に値をとることを暗示しており,少なくともホモロジー球面とよばれる三次元多様体族に関しては,不変量はtの多項式環に値をとるであろう,と予想されてきた.PSU(n)不変量に対しては,まずMurakamiによってこの事実が示されたが,証明は複雑な計算を必要とするため,その証明を一般のPSU(n)不変量に拡張するのは,不可能と思われた.ところが最近になってMasubaum-Robertsが,Temperley-Lieb代数の表現論を用いて,Murakamiの結果の簡単な別証明をあたえた.この研究では,Masubaum-Robertsをヒントに上の予想,つまり任意のnに対してPSU(n)不変量が,tの多項式環に値をとることの証明に成功した.基本的な流れはMasubaum-Robertsと同様で,与えられた三次元多様体とその鏡像の連結和の不変量を,Hecke環の表現論を用いて解析し,それがtの多項式環に値をとることを示す.あとはいくつかの数理的な議論を経由して,もとの三次元多様体の不変量もtの多項式環に値をとることがわかる.

这项研究旨在研究三维流形中量子不变的特性和渐近行为。在这项研究中，我们成功地证明了我们预期的量子不变性的代数和重要代数特性。以下是具体的结果。在物理学家Witten提出的三维流形的量子不变性中，SU（n）不变性，与A_N型Lee Ring相对应，Turaev-Wenzl，Kohno-Takata，Yokota，Yokota等，使用三维歧管的数学定义。该公式是已知的。在与Kohno的联合研究中，我们采取了SU（N）不变的更精确的PSU（N）不变性。这些不变性由称为a级的正整数和1个宽度词根统治，它们的值表示为t平方根的有理函数。先前的研究使我们对镜头空间和塞菲尔德同源球面的PSU（n）不变性具有明显的价值。这意味着不变性在t的多项式环中采用值，至少三维多单元称为同源球形表面。关于类似的家族，已经预测不变的人会将值带到t的多项式环。对于PSU（n）不变性，这一事实首先是由村上村证明的，但似乎不可能将证明扩展到一般的PSU（n）不变性，因为证明需要复杂的计算。然而，最近使用Temperley-Lieb代数的代表理论，Masubaum-Roberts提供了村上结果的简单替代证明。在这项研究中，有了Masubaum-Roberts的提示，我们已经成功证明了上述预测，也就是说，对于任何n，PSU（n）不变式对给定n的值占值。基本流量类似于Masubaum-Roberts，我们使用Hecke环的表示理论分析了给定的三维流形的连接总和及其镜像的不变性，并表明它对t的多项式环采用值。然后，通过一些数学参数，我们可以看到原始三维流形的不变性也为t的多项式环带来了值。

项目成果

高田敏恵(共著): "Level-rank duality of Witten's 3-manifold invariants" Advanced Studies in Pure Mathematics. 24. 243-264 (1996)

Toshie Takada（合著者）：“Witten 3-流形不变量的级别对偶性”纯数学高级研究 24. 243-264 (1996)

高田敏恵: "On quantum PSU (n) -invariants for lens spaces" Jour.Knot Theory. 5・6. 885-901 (1996)

Toshie Takada：“关于透镜空间的量子 PSU (n) 不变量”Jour.Knot 理论 885-901 (1996)。