量子不変量の性質と漸近的挙動

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この研究は,三次元多様体の量子不変量の性質と漸近的挙動を調べることを目標としていた.本研究では,予想していた量子不変量の代数的な重要な性質を証明する事に成功した.以下が具体的成果である.物理学者Wittenによって提唱された,三次元多様体の量子不変量のうち,A_N型リー環に対応するSU(n)不変量に関しては,三次元多様体の絡み目表示を用いた,Turaev-wenzl,Kohno-Takata,Yokota等による,数学的定式化が知られている.Kohnoとの共同研究でSU(n)不変量から,より精密なPSU(n)不変量をとりだした.これらの不変量は,レベルと呼ばれる正の整数とある1の巾根tによってきまり,その値はtの平方根の有理関数として表わされる.以前の研究で,レンズ空間とザイフェルトホモロジー球面のPSU(n)不変量に対する明確な値を与えた.それは,不変量がtの多項式環に値をとることを暗示しており,少なくともホモロジー球面とよばれる三次元多様体族に関しては,不変量はtの多項式環に値をとるであろう,と予想されてきた.PSU(n)不変量に対しては,まずMurakamiによってこの事実が示されたが,証明は複雑な計算を必要とするため,その証明を一般のPSU(n)不変量に拡張するのは,不可能と思われた.ところが最近になってMasubaum-Robertsが,Temperley-Lieb代数の表現論を用いて,Murakamiの結果の簡単な別証明をあたえた.この研究では,Masubaum-Robertsをヒントに上の予想,つまり任意のnに対してPSU(n)不変量が,tの多項式環に値をとることの証明に成功した.基本的な流れはMasubaum-Robertsと同様で,与えられた三次元多様体とその鏡像の連結和の不変量を,Hecke環の表現論を用いて解析し,それがtの多項式環に値をとることを示す.あとはいくつかの数理的な議論を経由して,もとの三次元多様体の不変量もtの多項式環に値をとることがわかる.