単体的複体と凸多面体の離散構造の代数的諸相

单纯复形和凸多面体的离散结构的代数方面

• 批准号: 06640002
• 负责人: 日比 孝之
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-06640002/
• 关键词: 凸多面体; 単体的複体; Stanley-Reisner環; Cohen-Macaulay環; Ehrhart多項式; グレブナ-基底; Betti数列; モジュラー束

近年,現代数学の様々な分野において離散構造の重要性が認識されてきた.古典的な組合せ論の研究対象である単体的複体,半順序集合や凸多面体に限っても,その面,鎖の個数や格子点の数え上げは可換代数や代数幾何と深い接点を持つことが判明し,更に,凸多面体の三角形分割の組合せ論は超幾何函数の理論などとの相互関係を保ちながら急激に進展している.このような現状において,当該研究の目的は(1)凸多面体の離散構造の研究を代数的側面から刺激し進展させること,及び(2)単体的複体に付随する可換代数の代数的不変量を組合せ論的に記述することであった.目的(1)について,当該年度は,整凸多面体P⊂R^Nに含まれる格子点の個数i(P,n)の母函数から定義されるδ-列の組合せ論的特徴付けを探究した.我々は,函数i(P,n)をHilbert函数とする可換整域A(P)を定義しその代数的振舞からPのδ-列の組合せ論的諸性質を研究した.更に,可換整域A(P)が次数1の元で生成されるならば,Pのδ-列はいわゆる上限定理型の不等式を満たすことに着目し,A(P)が次数1の元で生成されるための必要十分条件をPの組合せ論で記述することを試み,部分的な成果を得た.目的(2)について,当該年度は,単体的複体Δに付随するStanley-Reisner環k[Δ]のBetti数列を組合せ論的に記述する研究を遂行した.我々は,k[Δ]の有限自由分解が純となるような単体的複体Δを組合せ論的に分類することに挑戦したが,その際,計算代数の成果とグレブナ-基底の基礎理論を使って,計算機実験をしたことが有益であった.更に,Δが有限半順序集合Xの順序複体のとき,k[Δ]のBetti数列をXのメビウス函数を使って表示する方法を模索し,modular束Xの順序複体のCohen-Macaulay型を計算するための効果的な公式を発見した.

In recent years, the importance of discrete structures in modern mathematics has been recognized. The classical combinatorial theory is concerned with the study of the complex, semi-sequential set, convex polyhedron, limit, plane, number of locks, number of lattice points, commutative algebra, algebraic geometry, deep junction, identification, and further, the combinatorial theory of triangular partitions of convex polyhedra and the theory of hypergeometric functions. The purpose of this study is to (1) stimulate the progress of the study of discrete structures of convex polyhedra, and (2) describe the algebraic invariants of commutative algebras associated with the complex of single bodies. Objective (1) To explore the characteristics of the combinatorial theory of the convex polyhedron P R^N containing the number i(P,n) of lattice points and the definition of the generating function of δ-row when the year is over. In this paper, we study the properties of Hilbert function i(P,n), commutative integral field A(P), algebraic oscillation, delta sequence and combinatorial theory. Furthermore, commutative integral field A(P) is generated by elements of degree 1,P is δ-column,P is upper bound theorem, A (P) is generated by elements of degree 1,A(P) is generated by elements of degree 1, P is generated by elements of degree 1,A(P) is generated by elements of degree 1, P is generated by elements of degree Objective (2) To study the description of Stanley-Reisner rings k[Δ] and Betti series in combination theory when the complex Δ of a single body is followed in the year. The finite free decomposition of k[Δ] is useful for the classification of combinatorial theory. Furthermore, the expression method of the Betti sequence of X and the function of X for k[Δ] of the finite semi-ordered set X is modeled, and the formula for calculating the Cohen-Macaulay type of the ordered complex of modular bundle X is presented.

项目成果

Takayuki Hibi: "Cohen-Macaulay type of the face poset of a plane graph" Graphs and Combinatorics. 10. 133-138 (1994)

Takayuki Hibi：“平面图的面偏序集的 Cohen-Macaulay 类型”图和组合学。

日比孝之: "可換代数と組合せ論" シュプリンガー・東京, 187 (1995)

Takayuki Hibi：“交换代数和组合学”Springer Tokyo，187（1995）

Takayuki Hibi: "Canonical modules and Cohen-Macaulay types of partially ordered sets" Advances in Mathematics. 106. 118-121 (1994)

Takayuki Hibi：“部分有序集的规范模和 Cohen-Macaulay 类型”数学进展。

Takayuki Hibi: "A lower bourd theorem for Ehrbart polynomials of convex polytopes" Advances in Mathematics. 105. 162-165 (1994)

Takayuki Hibi：“凸多面体埃尔巴特多项式的下布尔定理”数学进展。

Takayuki Hibi: "Cohen-Macaulay types of Cohen-Macaulay complexes" Journal of Algebra. 168. 780-797 (1994)

Takayuki Hibi：“Cohen-Macaulay 复合体的 Cohen-Macaulay 类型”代数杂志。