アルゴリズム的な着想によるg予想の肯定的な解決への挑戦

使用算法思想积极解决g猜想的挑战

• 批准号: 18654020
• 负责人: 日比 孝之
• 金额: $ 1.98万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18654020/
• 关键词: アルゴリズム; 凸多面体; g予想; f列; algebraic shifting; exterior shifting; generic initial ideal; 巡回凸多面体; g 予想; 単体的球面; f 列; 有限順序集合; Gorenstein 複体; linear resolution; combinatorial shifting; 凸多面体の組合せ論; conbinatorial shifting; トーリック多様体

1975年、StanleyによるCohen--Macaulay環の理論を使った球面版上限予想の肯定的な解決は、凸多面体を巡る組合せ論と可換代数が接点を持つ契機となった。その後、単体的凸多面体のf列に関するg予想は、1980年、Stanleyが必要性を、B-illera--Leeが十分性を解決した。必然的に、単体的凸多面体のf列に関するg定理は単体的球面のf列に関するg予想に一般化され、当該分野の最高峰に位置する懸案の予想として君臨している。われわれの萌芽研究の目的はalgebraic shiftingとcombinatorial shiftingの理論を使い、アルゴリズム数学の観点から、球面版g予想の肯定的な解決に挑戦することにある。最終年度である平成20年度は、研究代表者が持つ萌芽的な着想を実践的な理論に育む基礎研究を推進し、今後の研究の進むべき方向性の一つを提唱した。具体的には、単体的球面のalgebraic shiftingの分類理論を構築するための基礎的な研究として、単体的球体のalgebraic shiftingがcombinatorial shiftingとして得られるような単体的球体の類を探す研究を展開し、部分的な成果を得ることができた。なお、一般に、単項式イデアルに限っても、そのジェネリックイニシャルイデアルを計算することはきわめて困難である。今後、計算代数のグループとの共、同研究を強力に展開し、ジェネリックイニシャルイデアルを高速に計算するソフトの開発をすることは、g予想の肯定的な解決に限らず、計算可換代数の発展に貢献するためにも、きわめて重要な仕事である。他方、球面版g予想に関連し、Ehrhart多項式の特徴付け問題に再挑戦し、体積が小さい凸多面体のEhrhart多項式を、嘗て、Stanleyと研究代表者が得た不等式の系列を使って組合せ論的に特徴付けることに成功し、Ehrhart多項式の研究を一歩進めることに重要な貢献をすることができた。

1975年，史丹利（Stanley）使用科恩·麦克劳（Cohen-Macaulay）环的理论对球形版本的上限预测的积极解决方案是触发交换代数与交换代数之间联系的触发因素。然后，在1980年，史丹利（Stanley）解决了单个凸多面体和b-illera的F序列的需求，Lee解决了足够的能力。不可避免地，单个凸多面体的F序列的G定理概括为单个球体的F序列的G预测，并在艺术中最高峰的推测预测中统治。我们的研究目的是利用代数转移和组合转移的理论从算法数学的角度挑战球形版本G预测的积极解决方案。在2008年的最后一年，研究人员促进了基础研究，以培养研究人员对实践理论的新兴想法，并提出了应采取未来研究的方向之一。具体而言，作为一项基础研究，旨在构建单体球形表面的代数转移的分类理论，我们开发了研究以搜索可以作为组合转移而获得的单体球形材料，并且我们已经取得了部分结果。通常，即使它仅限于单一理想，也很难计算通用初始理想。将来，与计算代数组合作开发可以在高速下计算通用初始理想的软件将是一项非常重要的任务，以促进计算交换代数的发展，而不仅仅是为G预测的积极解决方案。另一方面，与球形版本G预测有关，我们重新解决了Ehrhart多项式的特征问题，并成功地结合了ehrhart the Ehrhart多项式的小体积多项式，使用先前由斯坦利（Stanley）和主要研究者获得的一系列不平等性，为ehrhart polynomials提供了重要的贡献。

项目成果

The depth of an ideal with a given hilbert function

• DOI: 10.1090/s0002-9939-08-09067-9
• 发表时间: 2006-08
• 作者: S. Murai;T. Hibi

Gin and lex of certain monomial ideals

某些单项式理想的 Gin 和 lex

• 发表时间: 2006
• 期刊: Math. Scand. 99
• 作者: Masaaki Katsuno;Denis Gleeson;Juergen Herzog;Juergen Herzog;Juergen Herzog;Satoshi Murai
• 通讯作者: Satoshi Murai

Groebner bases of nested configurations

嵌套配置的 Groebner 基

• 发表时间: 2008
• 期刊: J. Algebra 320
• 作者: S. Aoki;T. Hibi;H. Ohsugi and A. Takemura
• 通讯作者: H. Ohsugi and A. Takemura

Groebner basis techniques in algebraic combinatorics

代数组合学中的 Groebner 基础技术

• 发表时间: 2007
• 作者: J. Herzog;T. Hibi;H. Ohsugi and T. Hibi;S. Murai and T. Hibi;Juergen Herzog;Juergen Herzog;Juergen Herzog;Satoshi Murai;Masako Kokubo;日比孝之;T. Hibi;日比孝之;T. Hibi
• 通讯作者: T. Hibi

Maximal Betti numbers of Cohen-Macaulay complexes with a given f-vector

给定 f 向量的 Cohen-Macaulay 复合体的最大贝蒂数

• 发表时间: 2007
• 期刊: Arch. Math. 88
• 作者: J. Herzog;T. Hibi and N. V. Trung;Takayuki Hibi
• 通讯作者: Takayuki Hibi