ポリオミノに付随する二項式イデアルの代数的及び組合せ論的探究

研究代表者（受け入れ研究者）と外国人特別研究員の平成２６年度の研究成果の一つである、長方形の内部から単純なポリオミノを除去することから得られる非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが素イデアルである、という定理を含む論文（arXiv:1502.03669）の改定作業を遂行し、その結果、当該論文は、権威ある国際雑誌 Illinois Journal of Mathematics に掲載されることが決定している。一般に、素イデアルとなる二項式イデアルはトーリックイデアルとなることが既知であるが、上記の論文のポリオミノイデアルがトーリックイデアルであることを証明することは難航していた。結局、その証明は、研究代表者の指導の下、研究代表者の研究室の博士後期課程の大学院生によって得られた。ポリオミノイデアルに関する懸案の予想の一つに、任意のポリオミノイデアルは根基イデアルである、というものがある。外国人特別研究員は、その予想を肯定と否定の両面から考察した。否定的な観点からは、膨大な時間の計算機実験を遂行したが、反例は得られてはいない。肯定的な観点からは、いわゆる squarefree なイニシャルイデアルが存在することを作業仮説とし、研究を展開し、特殊な非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが squarefree なイニシャルイデアルを持つことを示した。その他、外国人特別研究員は、研究代表者らとの国際共同研究を実施し、有限半順序集合から有限半順序集合への順序を保つ写像に付随する単項式イデアルの探究、及び、トーリックイデアルの探究を展開し、二編の共著論文（arXiv:1504.01520；arXiv:1512.01973）を執筆した。

研究代表者（受け入れ研究者）と外国人特別研究員の平成２６年度の研究成果の一つである、長方形の内部から単純なポリオミノを除去することから得られる非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが素イデアルである、という定理を含む論文（arXiv:1502.03669）の改定作業を遂行し、その結果、当該論文は、権威ある国際雑誌 Illinois Journal of Mathematics に掲載されることが決定している。一般に、素イデアルとなる二項式イデアルはトーリックイデアルとなることが既知であるが、上記の論文のポリオミノイデアルがトーリックイデアルであることを証明することは難航していた。結局、その証明は、研究代表者の指導の下、研究代表者の研究室の博士後期課程の大学院生によって得られた。ポリオミノイデアルに関する懸案の予想の一つに、任意のポリオミノイデアルは根基イデアルである、というものがある。外国人特別研究員は、その予想を肯定と否定の両面から考察した。否定的な観点からは、膨大な時間の計算機実験を遂行したが、反例は得られてはいない。肯定的な観点からは、いわゆる squarefree なイニシャルイデアルが存在することを作業仮説とし、研究を展開し、特殊な非単純なポリオミノに付随するポリオミノイデアルが squarefree なイニシャルイデアルを持つことを示した。その他、外国人特別研究員は、研究代表者らとの国際共同研究を実施し、有限半順序集合から有限半順序集合への順序を保つ写像に付随する単項式イデアルの探究、及び、トーリックイデアルの探究を展開し、二編の共著論文（arXiv:1504.01520；arXiv:1512.01973）を執筆した。