有限半順序集合の組合せ論における代数的基礎理論の研究

有限偏序集组合学代数基础理论研究

• 批准号: 08640033
• 负责人: 日比 孝之
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640033/
• 关键词: 有限半順序集合; 比較可能グラフ; 単体的複体; Cohen-Macaulay環; Hilbert函数; 極小自由分解; ベッチ数列; 凸多面体

当該研究においては,有限半順序集合の組合せ論に現代代数学の抽象論を多角的に応用する際の,基礎となる理論を構築することを目的とし,有限半順序集合の理論において,伝統的かつ主流な話題である(1)鎖の数え上げ理論および(2)比較可能グラフの離散構造を,抽象代数の現代的理論を武器として探究した.当該研究の顕著な成果は,「階数d-1の有限モジュラー束が階数3の原子部分束を含むとき,その比較可能グラフはd-連結である」を証明したことである.我々の証明を遂行する際の鍵は,(あ)単体的複体のホモロジー論を経由することで,有限半順序集合の比較可能グラフがd-連結であるか否かは,付随するStanley-Reisner環の次数付ベッチ数列の最後の項の情報で判定できるという事実とともに,(い)有限モジュラー束Lに付随するStanley-Reisner環のベッチ数列の最後の項は,Lのメビウス函数を使って表示することが可能であるという点である.その他,当該研究では,トーリック多様体の幾何における周知の事実を巧妙に使って,比較的単純な組合せ論的構造を有する有限分配束のh-列が単峰数列であることを示した.現代代数学の昨今の動向から判断すると,鎖の数え上げ理論,あるいは比較可能グラフの研究等に抽象代数の現代的理論が有効であることに疑問の余地はないものの,研究を推進させるための基本的な骨格が整備されているとは言い難かった.当該研究では,多項式環のイデアル論における最近の成果を踏まえ,代数的な視点から有限半順序集合の概念を捕え,古典的な組合せ論では到底得られなかった著しい結果に到達し,将来に展望を齎す一歩を得た.

When this research is carried out, the abstract theory of modern algebra, the combinatorial theory of finite semi-ordered sets, the theory of multi-angle application, the basic theory of construction, the theory of finite semi-ordered sets, the mainstream topic of tradition,(1) the theory of locking numbers,(2) the theory of discrete structures of comparative possibility, the modern theory of abstract algebra, and the weapon of exploration. When the results of this study are shown,"finite beam of order d-1, atomic partial beam of order 3, including the probability of d-link" is proved. I prove that the key in the execution of the sequence is: (1) the complex of a single entity;(2) the theory of a finite semi-ordered set;(3) the comparison of possible sets of d-links;(4) the determination of the information of the last term of the Stanley-Reisner ring;(5) the finite bundle of chains;(6) the comparison of possible sets of finite semi-ordered sets;(7) the determination of the information of the last term of the Stanley-Reisner ring;(8) the determination of the information of the last term of the Stanley-Reisner ring; L In addition, when this study is carried out, the geometric structure of the multi-body is known to be cleverly used to compare the structure of the pure combinatorial theory with the finite distribution of the h-series of the single-peak sequence. The trend of modern algebra in the past and the present is to judge, lock and number the theory, compare and compare the possibility, study and so on. The modern theory of abstract algebra has room for doubt, to advance the research and development of the basic framework. When this research is completed, the most recent results of polynomial ring theory are obtained. The algebraic viewpoint and the concept of finite semi-sequential set are captured. The classical combinatorial theory is finally obtained. The future prospect is obtained.

项目成果

A.Aramova,J.Herzog,T.Hibi: "Gotzmann theorems for exterior algebras and canbinatorics" Journal of Algebra. (掲載予定). (1997)

A.Aramova、J.Herzog、T.Hibi：“外代数和组合学的戈兹曼定理”《代数杂志》（即将出版）。

日比孝之: "数え上げ数学" 朝倉書店, 103 (1997)

日比孝之：《计数数学》朝仓书店，103（1997）

N.Terai,T.Hibi: "Computation of Betti numbers of monomial ideals associated with cyclic polytopes" Discrete and Computational Geometry. 15. 287-295 (1996)

N.Terai，T.Hibi：“与循环多胞形相关的单项式理想 Betti 数的计算”离散和计算几何。

N.Terai,T.Hibi: "Alexander duality theorem and secand Betti numbers of Stanley-Reisner rings" Advances in Mathematics. (印刷中). (1997)

N. Terai，T. Hibi：“亚历山大对偶定理和斯坦利-雷斯纳环的二阶贝蒂数”数学进展（1997 年）。

N.Terai,T.Hibi: "Finite tree resolutions and 1-skeletons of simplicial complexes" Jounal of Algebraic Combinatorics. (印刷中). (1997)

N.Terai，T.Hibi：“有限树解析和单纯复形的 1-骨架”代数组合学杂志（1997 年）。