偏微方程式の超局所解析理論の精密化と、その力学系理論への応用

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部分的双曲力学系の摂動問題については，ランダムな摂動に課した条件の緩和と，考察するモデルの一般化を，これまでの研究で用いた超局所解析の方法を精査することにより検証した．具体的には，基調となる構造安定な力学系が可逆でない場合でも，外的攪乱に対する安定性は，スペクトル解析をつうじて解明できる場合があり，従来の解析では不可能であった諸種の力学系に対処する手法を考案した．また，拡大的力学系における，不変測度や相関関数の減衰測度の安定性とその精密な評価を検討した．複素偏微分方程式の研究として，重み付き調和方程式の上半平面ディリクレ問題を考察した．解の一意性については，古典的Paley-Wiener-Schwartz定理の拡張が重要であり，また作用素の対称部分の解は，一般化された軸対称なポテンシャルとして知られており，ドリフト項をもつ双曲型ブラウン運動と強く関連を持ち，この問題の解析のひとつの足がかりとなることが予想される．2重特性をもつ擬微分作用素の研究に関連して着手した，非等方的な媒質中の波伝播現象の例である，微分情報をもつ地震波トレース補間の変分法的定式化問題においては，変分問題は本質的に，補完データに付随するテンソル構造の最小固有値上の積分に関する極小値を求めることに帰着されることが明らかとなった．これは，物理的には，補完において一方向より多い情報のロスを認めないことに対応する．変分問題は，意味ある補完像として非標準的非等方的拡散問題の解を正当化するのに用いられる．この種の非等方的拡散に対し，存在と一意性を明らかにした．特に，一意性は，提案した数値解析の枠組みによって解が得られること保証する上で重要である．