高余次元境界値問題と一第二超局所化

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高余次元境界値問題の研究においては、当初計画していた方程式系について境界への正則性伝播を証明できなかったが、今までの申請者の研究により伝播のわかっている微分方程式系については、実解析解の延長という具体的な成果につなげることができた(公表予定)。また擬微分作用素のシンボル表示の研究においては、残念ながらまだ一部の構造しかよく解っていない。しかしながら、層の超局所解析の技術を申請者の導入した新しいマイクロ函数に適用することで、これまでの研究では可解性が証明できなかった広いクラスの偏微分作用素に対して可解性を示すことができた(東京大学院生、小清水寛氏との共同研究)。この結果は有名なBony-Schapiraの部分楕円型方程式についての可解性定理を含んでおり、柏原一河合の結果のシステムや境界値問題への拡張も同時に得られている(投稿中)。さらに偏微分方程式系の解のくさびの刃型延長定理の改良に関しては、上記の擬微分作用素の研究を用いなくても層のマイクロ台をカットする手法により、方程式の条件を大幅にゆるめることに成功した。そこでは佐藤超函数解だけでなく、実解析解やdistribution解の接続についての結果も得られており、現在投稿にむけて論文準備中である。今後の研究計画としては、上記の小清水寛氏と導入した作用素についての初期値および境界値問題の研究が重要で、目下進展中である。つまり特性根が重複する偏微分作用素でも、申請者のBimicrolocalizationの理論を用いれば、特性多様体の特異点に沿って代数的なBlow-upを施すことで研究が可能になるのである。その他、特にフランスを中心に盛んに研究されているD-加群の積分変換や指数定理への応用については、関連する講究録や図書を購入することにより勉強中である。