楕円曲線の整数論

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1.虚数乗法を持つ楕円曲線の不変量を与える類方程式を数式処理システムにより計算した.その結果より、有理数体上に定義された虚数乗法を持たない楕円曲線についてその等分点の体のガロワ群におけるフロベニウス自己同型写像を決定するアルゴリズムが見つかった.特に、素点が完全分解するための必要十分条件が得られた.この結果は山本により整数論シンポジウムで発表された.2.3.特定の形をした楕円曲線でその有理点群の階数が4より大きいものが無数に存在することがわかった.また、有理点群の階数と二次体のイデアル類群の3ー部分群の階数との関係についていくつかの事実が得られた.この結果より、二次体の理論を用いて、階数の十分大きな楕円曲線の構成の可能性が見えてきた.この方向で、今後数式処理を用いて具体的に計算を実行ことにより適当な例を構成したい.4.二次体Q(√<-3>),Q(√<-1>)の整環を虚数乗法に持つ楕円曲線については、階数はかなり評価することができる.それとBirchーSwinnerton Dyerの予想を組み合わせることによりゼ-タ関数のs=1におけるべき級数展開の最初の項の係数の近似値は計算できたがその値の整数論的性質がわかる程精密な数値計算はできなかった.今後この計算に数式処理的方法を取り入れることを考えたい.5.種数2の代数曲線のヤコビ多様体として得られる2次元のア-ベル多様体についていくつかの実験ができた.特に自己準同型環についてはゼ-タ関数の零点を用いてほぼ完全に予想できる.そのことから、等分点の体のガロワ群がわかる.6.上記の多くの場合に数式処理が使えた.特に数式処理的手法の有効性が実証された.