アーベル多様体の整数論

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1.代数曲線のヤコビ多様体の等分点の体のガロワ群と定義方程式、代数曲線として,超楕円曲線をとりこの問題を研究した。超楕円曲線のヤコビ多様体の加法公式をリーマン・ロッホの定理より導き,それにより種数3以下の場合に2等分点とその定義方程式を決定した。種数1の場合は楕円曲線論で知られていた。(1)種数2の場合,一般の2次元アーベル多様体は超楕円曲線のヤコビ多様体であることから,2次元アーベル多様体の2等分点は解ったといえる。(2)種数3の場合,ヤコビ多様体の2等分体のガロワ群は,一般の3次元アーベル多様体の2等分体のものよりかなり小さいことが解った。2.超楕円曲線のヤコビ多様体の有理点群の構造について.超楕円曲線の関数体は有理関数体の2次拡大であることより,2次体との類似を考えた.曲線の定義方程式の平方根の連分数展開をうまく定義することにより,有理点の位数が決まることがわかった。種数は任意でよいことより,高次元アーベル多様体の有理点の研究の強力な手段が見つかったことになる.3.数式処理システムの導入.超楕円曲線のヤコビ多様体において,上記の連分数展開により,有理点の整数倍の座標を計算するアルゴリズムが,数式処理システムREDUCEの上で実行可能となった。これにより,様々の曲線についての有理点群の構造の研究が出来るようになった。