2次元結び目とブレイド理論及びカンドル・コホモロジーの研究

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前年度の研究を継続して、カンドル・ホモロジーとコホモロジー及びそれを用いたstate sum不変量の計算を行った。京都産業大学の山田修司氏の協力により(位数が7以下の有限カンドル)のリストが得られたが、そめカンドル・ホモロジーとコホモロジーを3次-6次について計算機を用いて求めることができた。さらに、古典次元結び目については、そのカンドル・コホモロジーstate sum不変量に現れる定数項と非定数項の関係が、カンドルのあるアーベル拡大による表現に関連することが分かったが、Scott Carter, Masahico Saito氏達が独自に与えたこれに関する関係式には、その証明にギャップがあり、反例を構成することができた。この計算結果と例は今後のカンドル・ホモロジーとコホモロジーを用いた結び目、2次元結び目、2次元ブレイドの研究に有効である。2次元結び目と2次元ブレイドについて1-ハンドル手術に関する基本的な性質を求めた。また1-ハンドル手術に附随した有限型不変量とオイラー数などの不変量との関係を明確にした。結び目の補空間の基本群は、その結び目の結び目群と呼ばれている。Wirtinger法によって射影図から結び目群の群表示を容易に得ることができる。この方法を高次元の結び目についても一般化した。とくに、この一般化した手法では、対象となる結び目は(高次元)球面に同相である必要はなく、向き付け不可能な場合も含む任意の閉多様体について適用可能である。