結び目・絡み目とブレイドの高次元化に関する研究

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ブレイドの概念を一般化したものが(埋め込み)2次元ブレイドである。さらに埋め込みの条件をジェネリックなはめ込みに拡張したのが特異2次元ブレイドと呼ばれている。曲面から4次元空間への一般的写像はジェネリックなはめ込みであるのでこのように拡張することは自然であり重要である。(埋め込み)2次元ブレイドは平面上のダイアグラム(チャート表示)を用いて表すことができる。このような表示に関する基本変形が知られていた。当研究において特異2次元ブレイドのチャート表示およびその基本変形を確立した。これは埋め込み2次元ブレイドのチャート表示とその基本変形を拡張するものである。これにより、4次元ユークリッド空間内に一般的にはめ込まれた有向閉曲面(特異2次元絡み目)をチャート表示を用いてかなり自由に変形することが可能となった。(特異2次元絡み目が常に特異2次元ブレイドで表されることは当研究代表者により示されていた。)また自明なはめ込みに対応するチャート表示を求めた。この応用といて与えられた特異2次元絡み目を自明な特異2次元絡み目に変形するジェネリックな正則ホモトピーを構成するアルゴリズムを与えることに成功した。(このようなホモトピーが存在することはSmaleにより示されていたが、それを構成し、明治することは容易でなない。)また1ハンドル接続操作により特異2次元絡み目を自明化するアルゴリズムを与えることにも同時に成功した。