4次元多様体内の閉曲面とブレイド理論に関する研究

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1。2次元絡み目は2次元ブレイドの閉包によって表わすことができ、ブレイド指数が定義される。ブレイド指数が1または2であるものは完全に分類されている。ブレイド指数が3であるものは当研究代表者によりリボン型であることが示されていた。ベータシステムを用いることによってオイラー標数が2である2次元3ブレイドの表を効果的に作成する手法を発見した。この手法によりアレクサンダー多項式の次数が9以下である3ブレイド2次元結び目の完全なリストを得た。(そのような2次元結び目は95個ある。)任意の自然数に対して、アレクサンダー多項式の次数がその数であるような3ブレイド2次元結び目をすべてリストアップすることも可能である。(ただし、そこには重複がありうる。)2次元結び目・絡み目の研究においてその表の作成は重要かつ緊急の課題であり、2次元ブレイドを用いる手法はこれにかなりの貢献があると期待される。2。4次元ユークリッド空間にはめ込まれた有向閉曲面(特異点のある2次元絡み目)のブレイド化に成功した。2次元絡み目のVassiliev不変量を定式化するには特異点のある2次元絡み目の研究が不可欠であるが、これによりこの方面の研究の手段(準備)が整った。これにともない2次元絡み目の結び目解消操作の研究も若干進んでいる。特に3種類の結び目解消操作が得られた。この方面の研究は現在も進行中である。