正標数代数多様体の基本群の数論幾何学的研究

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今年度は、まず、当初研究目的に掲げたうち、「正標数代数閉体の上のアフイン代数多様体に関するGrothendieck予想」に関して進歩があった。すなわち、正標数代数閉体の上の連結、smoothな代数曲線について、その種数、無限遠点の数が、そのtame基本群から群論的に復元されること、また、有限体の代数閉包の上の連結、smoothな代数曲線で種数0のものについて、そのschemeとしての同型類が、やはりそのtame基本群から群論的に復元できることを証明できた(論文準備中)。tame基本群の代わりにより大きい基本群全体を取った場合には、同様のことは一昨年度証明できていた(IMRNに論文発表予定)。また、研究目的「有限体の上の完備双曲的代数曲線に関するGrothendieck予想」に関する研究実施計画の中で、Abel多様体の中の代数曲線に関する従来の研究を参考にすることを示唆したが、これについては、標数0の体の上の種数2以上の曲線をそのJacobi多様体に埋め込む時、曲線上にはJacobi多様体のtorsionpointsが有限個しか含まれないことがRaynaudによって証明されている。昨年度は、Coleman、Tzermiasとの共同研究により、Fermat曲線の場合にこの有限個のtorsion pointsを具体的に決定した(Crelleに論文発表)が、今年度、ごく最近、モジュラ曲線X_0(N)でNが素数の場合にこの有限個のtorsion pointsを具体的に決定することに成功した(論文準備中)。これは、Coleman-Kaskel-Ribetの予想であった。