有限体、局所体、及び大域体の上に定義された代数多様体とその基本群の数論幾何的研究

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今年度は、当初研究目的として掲げたうちの「正標数の代数閉体上の曲線についてのGrothendieck予想」について進歩があった。主結果は、F_pの代数閉包の上の連結、smoothな代数曲線でコンパクト化の種数が0のものについては、その基本群の位相群としての同型類が元の曲線のschemeとしての同型類を完全に決定するということを示したことである(論文準備中)。この結果の証明は、まず、一般種数の曲線に対してコンパクト化で付け加わる点(punctures)の数が基本群から復元できるという当該研究者の結果を、元の曲線の被覆に現れる各曲線に対して適用し、有限群の置換表現に関する補題と組み合わせることによって、各punctureに対する惰性群を復元した.(更にArtin指標を用いて高次分岐群も復元される。)これによって、元の射影直線の各アーベルtame被覆に対応する基本群の部分群を指定することが可能になった。他方、各巡回tame被覆のp-rank(の適当な成分)の中に、元の射影直線の分岐点の座標の間にどんなF_p-線型関係が成り立っているかの情報が入っていることを発見し、更にこれを元の射影直線の被覆に現れる適当な射影直線に適用することによって、元の射影直線の分岐点の集合が(同型を除いて)完全に復元されることがわかった。曲線のp-rankが基本群から復元されることは既に当該研究者によって証明されているので、以上により主結果が証明される。今後は、一般種数の曲線の場合に同様の結果を証明したいと思っているが、そのためには、分岐点の座標を用いた具体的な計算とは異なる全く新しいアイディアが必要であると考えている。