積分可能系の理論と応用

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研究は3つのテーマに大別される。第1は、高次元の積分可能系である自己双対ヤン・ミルズ方程式のヒエラルキー構造と解の交換群の研究である。代表者はこのテーマについて今年度米国物理学会誌に相継いで論文を発表したが、その延長として、既知のソリトン方程式のヒエラルキー構造との相互関係の解明と無限次元一般線形群のもとで不変な方程式への拡張について新しい結果を得た。その一部は、核物理学会(欧州)誌Bにて印刷中、他は投稿中である。第2は、積分可能系の理論の制御理論への応用である。定常確率過程の線形予測問題の予測子空間の幾何学的群論的構造を、リーマン・ヒルベルト分解による変換群と無限次元グラスマン多様体を用いて考察し、全ての予測子がこの変換によって互いに結びつく事を示した。即ち、予測問題を直接に解く事なく、変換によってこの予測問題の解が得られる事が明らかになった。この結果は、英国応用数学会誌等に今年度発表された代表者の非定常過程の予測問題に関する研究に連続するもので、同学会誌に受理され現在印刷中である。第3のテーマは、有理関数のパラメータ空間とそのトポロジーについてである。有理関数は非線形積分可能系の有限次元解と線形システム理論における伝達関数という異なる2つの側面をもつ。この研究の第一歩として、SU(2)ヤン・ミルズ・ヒッグスモノポール解のモジュライ空間の低次元のホモトピー群が具体的に決定され、オイラー数がゼロとなる事が明らかにされた。さらに、分母を固定した有理関数の空間が、新しいクラスの非線形積分可能系の解の空間と位相同型となる事が証明された。以上の結果は2つの論文として投稿中である。このテーマは、積分可能系の特徴づけについての、いわゆるパンルベ予想の問題と密接に関係することが次第に明らかになり、この方向に今後も進展が期待される。以上の研究の展開において受けた科学研究費の援助を感謝する。