2次元の結び目とブレイドの研究

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当初はスムーズカテゴリーでの2次元ブレイドをチャート表示やベータシステムを用いて扱っていたが、当研究では、PLカテゴリーでの2次元ブレイドのベータシステムによる特徴付けに成功した。PLカテゴリーに於ては2次元ブレイドと2次元絡み目に関するマルコフの定理が当研究代表者により確立されているので、これにより2次元結び目・2次元絡み目の不変量の代数的な構成に一歩近づいたといえる。また、これによって2次元ブレイドについては二つのカテゴリーは本質的に異なることの例を見つけた。実際スムーズカテゴリーでの2次元ブレイドはすべてが単純な2次元ブレイドに変形できるのに対して、PLカテゴリーでの2次元ブレイドでは単純な2次元ブレイドに変形できないものが存在することが分かった。この発見とそれに関する研究は2次元ブレイド及び高次元ブレイドの研究にとって極めて重要である。当初予定していた2次元のブレイドや射影図を通して2次元の結び目‐絡み目の研究を行い、それらと表現論、統計物理、量子群等との関連についての研究については、ブレイド群のBurau表現を用いて2次元ブレイドの不変量の構成に成功した。これは2次元ブレイドの共役変形も区別ができるかなり強力な不変量である。この方面の研究は現在も実行中である。またベータシステムを用いた2次元ブレイドの表の作成も今後引き続き実行される。