2次元ブレイドの研究

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2次元絡み目は常に2次元ブレイドの閉包によって表わすことができ、ブレイド指数が定義される。ブレイド指数が1または2であるものは完全に分類されている。またブレイド指数が3であるものは当研究代表者によりリボン型であることが示されていた。当研究により、ベータシステムを用いることによってオイラー標数が-1である2次元3ブレイドの表を効果的に作成する手法を発見した。このような2次元ブレイドの閉包はブレイド指数が3以下の2次元絡み目であり既知の結果と組み合わせることでブレイド指数が3の2次元結び目の表を作成する効果的な手法を得た。この手法によりアレクサンダー多項式の次数が9以下である3ブレイド2次元結び目の完全なリストを得た。(そのような2次元結び目は95個ある。)任意の自然数に対して、アレクサンダー多項式の次数がその数であるような3ブレイド2次元結び目をすべてリストアップすることも可能である。(ただし、そこには重複がありうる。)2次元結び目・絡み目の研究においてその表の作成は重要かつ緊急の課題であり、2次元ブレイドを用いる手法はこれにかなりの貢献があると期待される。当研究において2次元のマルコフの定理のある種の精密化にも成功した。従来の定理は2つの2次元ブレイドが同じ2次元絡み目を表わせば、それらはブレイドアンビエントアイソトピーと共役変形と安定化変形を適当に組み合わせて移り合うというものであったが、実は安定化変形を集めることが可能であることがわかった。2次元ブレイド、2次元結び目・絡み目の不変量の研究は現在も進行中である。