調和写像と可積分系の理論の応用

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リーマン面から対称空間への調和写像の研究に関しては、まだまだ明らかにされていない問題も多い。リーマン球面からの調和写像の空間の位相構造の問題は、連結性・基本群に関する今までの結果を、より一般のコンパクト対称空間のあるクラスに拡張することができた、この結果を、学会で発表講演し、現在、代表者は、M.A.Guest氏、向井との共同研究として論文を準備中である。まだ、充分満足すべき結果ではないが、今後の発展も期待される。可積分系(ソリトン方程式)の理論の調和写像、曲面論などの微分幾何学への応用に関する進展は欧米の研究者により次々現われており、われわれともかなり競争的な様相にある。橋本氏の6次元球面内のJ-正則曲線の微分幾何的研究は、6次元球面へのJ-正則曲線の変形やモジュライ空間の研究への興味をあたえ、これは、今後の研究課題のひとつである。武藤氏の平均曲率一定の曲面に対するdressing upの明確な方法に関する専門的知識の提供による研究強力は、調和写像のループ群作用のより深い理解を与えた。代表者は、リーマン面から対称空間への調和写像をゲージ理論的(あるいは接続の幾何学)的方法からの研究が有り得ると考えていたが、向井は、そのような方向でゲージ理論的方程式の無限小変形を与える楕円複体を導入し、それを用いてそのモジュライ空間の解析的構造を研究し成果をあげつつある。symplectic位相幾何、位相場の理論、量子コホモロジーにおいて重要な擬正則曲線のモジュライ空間の理論は、調和写像論およびその応用の立場から興味ある研究課題を提供するものである。代表者は、大学院生・西森と共同でエルミート対称空間の量子コホモロジー環を研究し、DIII型に対してその量子コホモロジー環を決定するという新しい結果を得た。また、西森による情報・資料の収集・整理は、大変発展著しいこの領域を把握し本研究を推進するのに貢献したことを付言したい。このことは、大学院生・清宮についても、同様なことがいえる。清宮は、ゲージ理論における新しい展開を与えているSeiberg-Witten理論の研究に取り組み、摂動されたSeiberg-Witten方程式に対するKobayashi-Hitchin対応を数学的に厳密に証明した。